☛ Inéquation quotient (1)

Enoncé

On souhaite résoudre dans \(\mathbb{R}\) l'inéquation \(\dfrac{-2x+1}{9-x}\leqslant0\).
1. Pour quelles valeurs de \(x\) l'inéquation est-elle bien définie ?
2. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l'équation \(-2x+1=0\).
3. Recopier et compléter le tableau suivant.

4. En déduire les solutions de l'inéquation \(\dfrac{-2x+1}{9-x}\leqslant0\).

Solution

On souhaite résoudre dans \(\mathbb{R}\) l'inéquation \(\dfrac{-2x+1}{9-x}\leqslant0\).
1. \(9-x=0 \Leftrightarrow x=9\), donc l'inéquation est bien définie si et seulement si \(x\neq 9\). 
L'ensemble de définition de l'inéquation est donc \(]-\infty ; 9[\cup]9;+\infty[ \text{ ou encore }\mathbb{R}\setminus \lbrace 9\rbrace\).
2.  \(-2x+1=0 \Leftrightarrow-2x=-1 \Leftrightarrow x = \dfrac{-1}{-2}=\dfrac{1}{2}\).
3. 

4. L'ensemble des solutions de l'inéquation \(\dfrac{-2x+1}{9-x}\leqslant0\) est \(S=\left[\dfrac{1}{2} ; 9\right[\).